Matematyka w klasie 7 stanowi ważny etap w edukacji, wprowadzając wiele nowych zagadnień i rozwijając te poznane wcześniej. Seria „Matematyka z plusem” oferuje kompleksowe podejście do nauki matematyki, łącząc teorię z praktycznymi zadaniami. W tym artykule przedstawimy najważniejsze zagadnienia z programu klasy 7, wraz z przykładami zadań i szczegółowymi rozwiązaniami.
Liczby i działania
Na początku klasy 7 uczniowie utrwalają i rozszerzają wiedzę o działaniach na liczbach.
Liczby całkowite i działania na nich
Przypomnijmy, że liczby całkowite to zbiór obejmujący liczby naturalne, zero i liczby ujemne. Oznaczamy go symbolem \(\mathbb{Z}\).
Przykładowe zadanie:
Zadanie 1: Oblicz wartość wyrażenia: \(-5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) – 6\)
Rozwiązanie:
\(-5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) – 6\)
\(= 15 + (-8) – 6\)
\(= 15 – 8 – 6\)
\(= 1\)
Pamiętaj o zasadach dotyczących znaków przy mnożeniu liczb całkowitych:
- Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni
- Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni
- Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny
Ułamki zwykłe i dziesiętne
W klasie 7 rozwijamy umiejętności związane z działaniami na ułamkach.
Zadanie 2: Wykonaj działania: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} – \frac{5}{6} : \frac{10}{9}\)
Rozwiązanie:
\(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} – \frac{5}{6} : \frac{10}{9}\)
\(= \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} – \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10}\) (dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność)
\(= \frac{18}{12} – \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10}\)
\(= \frac{3}{2} – \frac{45}{60}\)
\(= \frac{3}{2} – \frac{3}{4}\)
\(= \frac{6}{4} – \frac{3}{4}\)
\(= \frac{3}{4}\)
Procenty
Zagadnienia procentowe są szczególnie ważne w klasie 7 i mają wiele praktycznych zastosowań.
Obliczanie procentu danej liczby
Aby obliczyć procent danej liczby, mnożymy tę liczbę przez ułamek odpowiadający danemu procentowi.
Zadanie 3: Oblicz 35% z liczby 240.
Rozwiązanie:
35% z 240 = \(0,35 \cdot 240 = 84\)
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
Zadanie 4: Jakim procentem liczby 80 jest liczba 30?
Rozwiązanie:
Aby obliczyć, jakim procentem liczby 80 jest liczba 30, dzielimy 30 przez 80 i mnożymy przez 100%.
\(\frac{30}{80} \cdot 100\% = \frac{3}{8} \cdot 100\% = 37,5\%\)
Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent
Zadanie 5: 42 to 35% pewnej liczby. Oblicz tę liczbę.
Rozwiązanie:
Oznaczmy szukaną liczbę przez \(x\).
\(42 = 35\% \cdot x\)
\(42 = 0,35x\)
\(x = \frac{42}{0,35} = 120\)
Podwyżki i obniżki procentowe
Zadanie 6: Cena telewizora wynosiła 2400 zł. W czasie promocji obniżono ją o 15%. Ile kosztuje telewizor po obniżce?
Rozwiązanie:
Obniżka: \(15\% \cdot 2400 \text{ zł} = 0,15 \cdot 2400 \text{ zł} = 360 \text{ zł}\)
Cena po obniżce: \(2400 \text{ zł} – 360 \text{ zł} = 2040 \text{ zł}\)
Alternatywnie możemy obliczyć bezpośrednio:
Cena po obniżce: \(2400 \text{ zł} \cdot (1 – 0,15) = 2400 \text{ zł} \cdot 0,85 = 2040 \text{ zł}\)
Potęgi i pierwiastki
W klasie 7 rozszerzamy wiedzę o potęgach i wprowadzamy pojęcie pierwiastka.
Potęgi o wykładnikach całkowitych
Przypomnijmy definicję potęgi o wykładniku naturalnym:
\(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}\), gdzie \(n \in \mathbb{N}\)
Dla wykładników ujemnych mamy:
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), gdzie \(a \neq 0\) i \(n \in \mathbb{N}\)
Dodatkowo: \(a^0 = 1\) dla \(a \neq 0\)
Zadanie 7: Oblicz wartość wyrażenia: \(2^3 \cdot 2^{-2} \cdot 2^{-1}\)
Rozwiązanie:
Korzystamy z własności potęg o tej samej podstawie:
\(2^3 \cdot 2^{-2} \cdot 2^{-1} = 2^{3 + (-2) + (-1)} = 2^0 = 1\)
Pierwiastki kwadratowe i sześcienne
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej \(a\) to taka liczba nieujemna \(b\), że \(b^2 = a\). Zapisujemy to jako \(b = \sqrt{a}\).
Podobnie, pierwiastek sześcienny z liczby \(a\) to taka liczba \(b\), że \(b^3 = a\). Zapisujemy to jako \(b = \sqrt[3]{a}\).
Zadanie 8: Oblicz: \(\sqrt{144} + \sqrt[3]{8} – \sqrt{25}\)
Rozwiązanie:
\(\sqrt{144} + \sqrt[3]{8} – \sqrt{25}\)
\(= 12 + 2 – 5\)
\(= 9\)
Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia algebraiczne to kombinacje liczb i zmiennych połączonych działaniami matematycznymi.
Jednomiany i sumy algebraiczne
Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych podniesionych do potęg o wykładnikach naturalnych, np. \(3x^2y\).
Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. \(3x^2y – 5xy + 2y\).
Zadanie 9: Uprość wyrażenie: \((2x^2y – 3xy + 5y) – (x^2y – 2xy – y)\)
Rozwiązanie:
\((2x^2y – 3xy + 5y) – (x^2y – 2xy – y)\)
\(= 2x^2y – 3xy + 5y – x^2y + 2xy + y\)
\(= 2x^2y – x^2y – 3xy + 2xy + 5y + y\)
\(= x^2y – xy + 6y\)
Mnożenie sum algebraicznych
Zadanie 10: Pomnóż: \((2x + 3)(x – 4)\)
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór na mnożenie sum algebraicznych: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
\((2x + 3)(x – 4)\)
\(= 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4)\)
\(= 2x^2 – 8x + 3x – 12\)
\(= 2x^2 – 5x – 12\)
Równania
Równanie to zdanie matematyczne zawierające niewiadomą, które może być prawdziwe lub fałszywe w zależności od wartości niewiadomej.
Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
Zadanie 11: Rozwiąż równanie: \(3(x – 2) – 2(x + 1) = 5x – 14\)
Rozwiązanie:
\(3(x – 2) – 2(x + 1) = 5x – 14\)
\(3x – 6 – 2x – 2 = 5x – 14\)
\(x – 8 = 5x – 14\)
\(x – 8 – 5x = -14\)
\(-4x – 8 = -14\)
\(-4x = -14 + 8\)
\(-4x = -6\)
\(x = \frac{-6}{-4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)
Sprawdzenie:
\(3(\frac{3}{2} – 2) – 2(\frac{3}{2} + 1) = 5 \cdot \frac{3}{2} – 14\)
\(3(-\frac{1}{2}) – 2(\frac{5}{2}) = \frac{15}{2} – 14\)
\(-\frac{3}{2} – 5 = \frac{15}{2} – 14\)
\(-\frac{3}{2} – 5 = \frac{15}{2} – \frac{28}{2}\)
\(-\frac{3}{2} – \frac{10}{2} = \frac{15 – 28}{2}\)
\(-\frac{13}{2} = -\frac{13}{2}\)
Równanie jest spełnione, więc \(x = \frac{3}{2}\) jest rozwiązaniem.
Zadania tekstowe
Zadanie 12: Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 72. Jakie to liczby?
Rozwiązanie:
Oznaczmy najmniejszą z tych liczb jako \(x\). Wtedy kolejne liczby to \(x+1\) i \(x+2\).
Z treści zadania mamy:
\(x + (x+1) + (x+2) = 72\)
\(3x + 3 = 72\)
\(3x = 69\)
\(x = 23\)
Zatem szukane liczby to: 23, 24 i 25.
Figury geometryczne
Kąty
W klasie 7 pogłębiamy wiedzę o kątach, w tym o kątach utworzonych przez dwie proste przecięte trzecią prostą (tzw. kąty odpowiadające, naprzemianległe i jednostronne).
Zadanie 13: Dwie proste przecięte trzecią tworzą kąty, z których jeden ma miarę \(42°\). Oblicz miary pozostałych kątów.
Rozwiązanie:
Gdy dwie proste są przecięte trzecią, powstaje osiem kątów. Kąty przyległe są suplementarne (ich suma wynosi \(180°\)), a kąty wierzchołkowe są równe.
Jeśli jeden z kątów ma miarę \(42°\), to:
– Kąt do niego wierzchołkowy również ma \(42°\)
– Kąt przyległy ma miarę \(180° – 42° = 138°\)
– Kąt wierzchołkowy do przyległego również ma \(138°\)
Jeśli proste są równoległe, to kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe, a kąty jednostronne są suplementarne. Wtedy pozostałe kąty mają miary \(42°\) lub \(138°\).
Trójkąty i czworokąty
W klasie 7 rozszerzamy wiedzę o własnościach trójkątów i czworokątów.
Zadanie 14: W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 8 cm, a ramię 5 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na podstawę.
Rozwiązanie:
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Połowa podstawy: \(\frac{8}{2} = 4\) cm
Ramię: 5 cm
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy wysokość \(h\):
\(h^2 + 4^2 = 5^2\)
\(h^2 + 16 = 25\)
\(h^2 = 9\)
\(h = 3\) cm
Pola i obwody figur płaskich
Zadanie 15: Oblicz pole rombu, którego przekątne mają długości 10 cm i 12 cm.
Rozwiązanie:
Pole rombu można obliczyć ze wzoru: \(P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\), gdzie \(d_1\) i \(d_2\) to długości przekątnych.
\(P = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2\)
Kalkulator do rozwiązywania równań pierwszego stopnia
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci rozwiązać równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą w postaci ax + b = c.
Kalkulator równań pierwszego stopnia
Podsumowanie
W tym artykule omówiliśmy najważniejsze zagadnienia matematyczne z programu klasy 7 zgodnie z serią „Matematyka z plusem”. Przedstawione przykłady i rozwiązania powinny pomóc w zrozumieniu i opanowaniu materiału. Pamiętaj, że kluczem do sukcesu w matematyce jest systematyczna praca i rozwiązywanie różnorodnych zadań.
Dla lepszego utrwalenia wiedzy warto regularnie wykonywać ćwiczenia z podręcznika i zbioru zadań „Matematyka z plusem”, a także korzystać z dostępnych online materiałów dodatkowych.