Ciągi liczbowe to jeden z ważniejszych działów matematyki, który regularnie pojawia się na egzaminie maturalnym. Zrozumienie podstawowych pojęć i umiejętność rozwiązywania zadań z ciągów jest kluczowe dla osiągnięcia dobrego wyniku. W tym artykule omówimy najważniejsze zagadnienia dotyczące ciągów, przedstawimy typowe zadania maturalne oraz pokażemy, jak krok po kroku je rozwiązywać.
Podstawowe pojęcia dotyczące ciągów
Ciąg liczbowy to funkcja, która każdej liczbie naturalnej \(n\) przyporządkowuje pewną liczbę \(a_n\), zwaną \(n\)-tym wyrazem ciągu. Ciąg możemy zapisać jako:
\( (a_n)_{n=1}^{\infty} \) lub po prostu \( (a_n) \)
Ciąg można zdefiniować na trzy podstawowe sposoby:
- Wzorem ogólnym, który pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu, np. \(a_n = 2n + 3\)
- Rekurencyjnie, gdzie każdy kolejny wyraz zależy od poprzednich, np. \(a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n\)
- Przez wypisanie kilku początkowych wyrazów, jeśli można zauważyć regułę
Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała. Tę różnicę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą \(r\).
Podstawowe wzory dla ciągu arytmetycznego:
- Różnica ciągu: \(r = a_{n+1} – a_n\)
- Wzór na \(n\)-ty wyraz: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)
- Suma \(n\) pierwszych wyrazów: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot r)\)
Ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały. Ten iloraz nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy literą \(q\).
Podstawowe wzory dla ciągu geometrycznego:
- Iloraz ciągu: \(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
- Wzór na \(n\)-ty wyraz: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
- Suma \(n\) pierwszych wyrazów (dla \(q \neq 1\)): \(S_n = \frac{a_1 \cdot (1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1 \cdot (q^n-1)}{q-1}\)
- Suma nieskończonego ciągu geometrycznego (dla \(|q| < 1\)): \(S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q}\)
Typowe zadania maturalne z ciągów
Na egzaminie maturalnym najczęściej pojawiają się następujące typy zadań z ciągów:
- Wyznaczanie wyrazów ciągu na podstawie wzoru ogólnego
- Badanie monotoniczności ciągu
- Obliczanie sumy wyrazów ciągu
- Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny
- Wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu na podstawie podanych informacji
- Rozwiązywanie zadań z zastosowaniem ciągów w kontekście praktycznym
Przykłady zadań maturalnych z ciągów arytmetycznych
Przykład 1: Wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego
Zadanie: Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), w którym \(a_2 = 5\) oraz \(a_5 = 14\). Wyznacz wzór ogólny tego ciągu oraz oblicz sumę pierwszych 10 wyrazów.
Rozwiązanie:
Krok 1: Obliczamy różnicę ciągu \(r\).
Dla ciągu arytmetycznego mamy: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)
Stąd:
\(a_2 = a_1 + r = 5\)
\(a_5 = a_1 + 4r = 14\)
Z pierwszego równania: \(a_1 = 5 – r\)
Podstawiając do drugiego: \(5 – r + 4r = 14\)
\(5 + 3r = 14\)
\(3r = 9\)
\(r = 3\)
Krok 2: Obliczamy pierwszy wyraz ciągu \(a_1\).
\(a_1 = 5 – r = 5 – 3 = 2\)
Krok 3: Zapisujemy wzór ogólny ciągu.
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1\)
Krok 4: Obliczamy sumę pierwszych 10 wyrazów.
\(S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (a_1 + a_{10}) = 5 \cdot (2 + (3 \cdot 10 – 1)) = 5 \cdot (2 + 29) = 5 \cdot 31 = 155\)
Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu: \(a_n = 3n – 1\). Suma pierwszych 10 wyrazów: \(S_{10} = 155\).
Przykład 2: Badanie monotoniczności ciągu arytmetycznego
Zadanie: Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), w którym \(a_1 = -7\) oraz \(r = 2\). Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną \(k\), dla której \(a_k > 0\).
Rozwiązanie:
Krok 1: Zapisujemy wzór ogólny ciągu.
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = -7 + (n-1) \cdot 2 = -7 + 2n – 2 = 2n – 9\)
Krok 2: Szukamy najmniejszej liczby naturalnej \(k\), dla której \(a_k > 0\).
\(a_k > 0\)
\(2k – 9 > 0\)
\(2k > 9\)
\(k > 4,5\)
Ponieważ \(k\) musi być liczbą naturalną, to \(k = 5\).
Sprawdzamy: \(a_5 = 2 \cdot 5 – 9 = 10 – 9 = 1 > 0\)
Odpowiedź: Najmniejsza liczba naturalna \(k\), dla której \(a_k > 0\), to \(k = 5\).
Przykłady zadań maturalnych z ciągów geometrycznych
Przykład 3: Wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu geometrycznego
Zadanie: Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1 = 6\) oraz \(a_3 = 24\). Wyznacz wzór ogólny tego ciągu oraz oblicz sumę pierwszych 5 wyrazów.
Rozwiązanie:
Krok 1: Obliczamy iloraz ciągu \(q\).
Dla ciągu geometrycznego mamy: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
Stąd:
\(a_3 = a_1 \cdot q^2 = 24\)
\(6 \cdot q^2 = 24\)
\(q^2 = 4\)
\(q = 2\) (ponieważ \(q = -2\) dałoby inny ciąg)
Krok 2: Zapisujemy wzór ogólny ciągu.
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 6 \cdot 2^{n-1}\)
Krok 3: Obliczamy sumę pierwszych 5 wyrazów.
\(S_5 = \frac{a_1 \cdot (1-q^5)}{1-q} = \frac{6 \cdot (1-2^5)}{1-2} = \frac{6 \cdot (1-32)}{-1} = \frac{6 \cdot (-31)}{-1} = 186\)
Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu: \(a_n = 6 \cdot 2^{n-1}\). Suma pierwszych 5 wyrazów: \(S_5 = 186\).
Przykład 4: Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
Zadanie: Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1 = 9\) oraz \(q = \frac{1}{3}\). Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:
Ponieważ \(|q| = \left|\frac{1}{3}\right| < 1\), ciąg jest zbieżny i możemy obliczyć sumę wszystkich jego wyrazów.
\(S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q} = \frac{9}{1-\frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5\)
Odpowiedź: Suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi \(S_{\infty} = \frac{27}{2} = 13,5\).
Zadania łączące różne typy ciągów
Przykład 5: Porównanie sum ciągów
Zadanie: Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), w którym \(a_1 = 4\) i \(r = 3\), oraz ciąg geometryczny \((b_n)\), w którym \(b_1 = 2\) i \(q = 2\). Porównaj sumy pierwszych 6 wyrazów obu ciągów.
Rozwiązanie:
Krok 1: Obliczamy sumę pierwszych 6 wyrazów ciągu arytmetycznego.
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n – 3 = 3n + 1\)
\(a_6 = 3 \cdot 6 + 1 = 18 + 1 = 19\)
\(S_6^{(a)} = \frac{6}{2} \cdot (a_1 + a_6) = 3 \cdot (4 + 19) = 3 \cdot 23 = 69\)
Krok 2: Obliczamy sumę pierwszych 6 wyrazów ciągu geometrycznego.
\(S_6^{(b)} = \frac{b_1 \cdot (1-q^6)}{1-q} = \frac{2 \cdot (1-2^6)}{1-2} = \frac{2 \cdot (1-64)}{-1} = \frac{2 \cdot (-63)}{-1} = 126\)
Krok 3: Porównujemy obie sumy.
\(S_6^{(a)} = 69\)
\(S_6^{(b)} = 126\)
\(S_6^{(b)} > S_6^{(a)}\)
Odpowiedź: Suma pierwszych 6 wyrazów ciągu geometrycznego jest większa od sumy pierwszych 6 wyrazów ciągu arytmetycznego.
Zadania z zastosowaniem ciągów w kontekście praktycznym
Przykład 6: Lokata bankowa
Zadanie: Wpłacono 5000 zł na lokatę o stałym oprocentowaniu 4% w skali roku. Odsetki są kapitalizowane co rok. Oblicz, ile wyniesie kapitał po 10 latach.
Rozwiązanie:
Krok 1: Identyfikujemy, że kapitał po kolejnych latach tworzy ciąg geometryczny.
Niech \(a_n\) oznacza kapitał po \(n\) latach.
\(a_0 = 5000\) (kapitał początkowy)
\(a_1 = a_0 \cdot 1,04 = 5000 \cdot 1,04 = 5200\)
\(a_2 = a_1 \cdot 1,04 = 5200 \cdot 1,04 = 5408\)
Zauważamy, że jest to ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_0 = 5000\) i ilorazie \(q = 1,04\).
Krok 2: Obliczamy kapitał po 10 latach.
\(a_{10} = a_0 \cdot q^{10} = 5000 \cdot (1,04)^{10} \approx 5000 \cdot 1,4802 \approx 7401\)
Odpowiedź: Kapitał po 10 latach wyniesie około 7401 zł.
Przykład 7: Ciąg w zadaniu z geometrii
Zadanie: W trójkącie równobocznym o boku długości 16 cm zaznaczono środki boków i połączono je, tworząc nowy trójkąt. W nowym trójkącie ponownie zaznaczono środki boków i połączono je. Procedurę powtarzano wielokrotnie. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych trójkątów.
Rozwiązanie:
Krok 1: Obliczamy pole początkowego trójkąta równobocznego.
\(P_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 256 = 64\sqrt{3}\)
Krok 2: Zauważamy, że każdy kolejny trójkąt ma pole równe \(\frac{1}{4}\) pola poprzedniego trójkąta.
Wynika to z faktu, że łącząc środki boków trójkąta, otrzymujemy trójkąt o polu równym \(\frac{1}{4}\) pola wyjściowego trójkąta.
Krok 3: Tworzymy ciąg geometryczny pól kolejnych trójkątów.
\(P_1 = 64\sqrt{3}\)
\(P_2 = \frac{1}{4} \cdot P_1 = \frac{1}{4} \cdot 64\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\)
\(P_3 = \frac{1}{4} \cdot P_2 = \frac{1}{4} \cdot 16\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
Jest to ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 64\sqrt{3}\) i ilorazie \(q = \frac{1}{4}\).
Krok 4: Obliczamy sumę wszystkich pól.
\(S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q} = \frac{64\sqrt{3}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{64\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = 64\sqrt{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{256\sqrt{3}}{3}\)
Odpowiedź: Suma pól wszystkich utworzonych trójkątów wynosi \(\frac{256\sqrt{3}}{3}\) cm².
Kalkulator ciągów
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci w obliczeniach związanych z ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi:
Kalkulator ciągów
n-ty wyraz:
Suma n wyrazów: