Trygonometria stanowi jeden z najważniejszych działów matematyki, który regularnie pojawia się na egzaminach maturalnych. Zrozumienie związków między funkcjami trygonometrycznymi jest kluczowe dla rozwiązywania wielu zadań maturalnych. W tym artykule przedstawimy najważniejsze wzory, zależności i techniki, które pomogą Ci skutecznie rozwiązywać zadania z trygonometrii na maturze.
Podstawowe funkcje trygonometryczne
Zacznijmy od przypomnienia podstawowych funkcji trygonometrycznych. W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(\alpha\), definiujemy:
\[ \sin\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{hipotenuza}} \]
\[ \cos\alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{hipotenuza}} \]
\[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przyległa}} \]
\[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} \]
Te definicje można rozszerzyć na kąty dowolnej miary za pomocą koła jednostkowego, gdzie punkt \(P(\cos\alpha, \sin\alpha)\) leży na okręgu o promieniu 1 i środku w początku układu współrzędnych.
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
Znajomość tożsamości trygonometrycznych jest niezbędna do rozwiązywania zadań maturalnych. Oto najważniejsze z nich:
Tożsamości Pitagorejskie
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]
\[ 1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \]
\[ 1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \]
Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne pozwalają przekształcić funkcje trygonometryczne kątów spoza pierwszej ćwiartki na funkcje kątów z pierwszej ćwiartki:
\[ \sin(\pi – \alpha) = \sin\alpha \]
\[ \cos(\pi – \alpha) = -\cos\alpha \]
\[ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha \]
\[ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha \]
\[ \sin(2\pi – \alpha) = -\sin\alpha \]
\[ \cos(2\pi – \alpha) = \cos\alpha \]
Wzory na funkcje kątów podwojonych
\[ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \]
\[ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha – \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha – 1 = 1 – 2\sin^2\alpha \]
\[ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \]
Wzory na funkcje sumy i różnicy kątów
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \]
\[ \sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \]
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \]
\[ \cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \]
Typowe zadania maturalne z trygonometrii
Zadanie 1: Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych
Przykład: Oblicz wartość wyrażenia \(\sin(75°)\), wiedząc, że \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) i \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\).
Rozwiązanie: Wykorzystamy wzór na sinus sumy kątów:
\[ \sin(75°) = \sin(45° + 30°) = \sin(45°)\cos(30°) + \cos(45°)\sin(30°) \]
Podstawiamy znane wartości:
\[ \sin(75°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Zadanie 2: Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Przykład: Rozwiąż równanie \(2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0\) dla \(x \in [0, 2\pi)\).
Rozwiązanie: Podstawmy \(t = \sin x\), otrzymujemy równanie kwadratowe:
\[ 2t^2 – t – 1 = 0 \]
Rozwiązujemy to równanie:
\[ \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
\[ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{oraz} \quad t_2 = \frac{1 – 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
Zatem \(\sin x = 1\) lub \(\sin x = -\frac{1}{2}\)
Dla \(\sin x = 1\), mamy \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. W przedziale \([0, 2\pi)\) jest to tylko \(x = \frac{\pi}{2}\).
Dla \(\sin x = -\frac{1}{2}\), mamy \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\) lub \(x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\). W przedziale \([0, 2\pi)\) są to wartości \(x = \frac{7\pi}{6}\) i \(x = \frac{11\pi}{6}\).
Odpowiedź: \(x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}\)
Zadanie 3: Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych
Przykład: Udowodnij, że \(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 – \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\).
Rozwiązanie:
Przekształćmy lewą stronę:
\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 \]
Wiemy, że \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), więc \(\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha\). Podstawiając:
\[ (\sin^2 \alpha)^2 + (1 – \sin^2 \alpha)^2 = \sin^4 \alpha + 1 – 2\sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha = 1 – 2\sin^2 \alpha + 2\sin^4 \alpha \]
Z drugiej strony, wiemy, że \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), więc:
\[ \sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha) = 4\sin^2\alpha – 4\sin^4\alpha \]
Stąd:
\[ 1 – \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha = 1 – \frac{1}{2}(4\sin^2\alpha – 4\sin^4\alpha) = 1 – 2\sin^2\alpha + 2\sin^4\alpha \]
Co dowodzi tożsamości.
Zadanie 4: Nierówności trygonometryczne
Przykład: Rozwiąż nierówność \(\sin x > \cos x\) dla \(x \in [0, 2\pi)\).
Rozwiązanie: Przekształćmy nierówność:
\[ \sin x > \cos x \]
\[ \sin x – \cos x > 0 \]
Aby znaleźć miejsca zerowe, rozwiążmy równanie \(\sin x = \cos x\):
\[ \sin x = \cos x \]
\[ \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) \]
To równanie jest spełnione dla \(x = \frac{\pi}{2} – x + 2\pi k\) lub \(x = \pi – (\frac{\pi}{2} – x) + 2\pi k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.
Z pierwszego warunku: \(2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), czyli \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k\).
Z drugiego warunku: \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi k\).
W przedziale \([0, 2\pi)\) mamy punkty: \(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\).
Sprawdzając znak wyrażenia \(\sin x – \cos x\) w poszczególnych przedziałach, otrzymujemy:
Odpowiedź: \(x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right)\)
Wizualizacja funkcji trygonometrycznych
Poniżej przedstawiamy wykresy podstawowych funkcji trygonometrycznych, które są pomocne w zrozumieniu ich zachowania i rozwiązywaniu zadań.
Praktyczne zastosowanie – Kalkulator trygonometryczny
Poniższy kalkulator pomoże Ci w obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta (w stopniach lub radianach).
Kalkulator trygonometryczny
sin(x) = –
cos(x) = –
tan(x) = –
cot(x) = –
Strategie rozwiązywania zadań maturalnych z trygonometrii
Przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z trygonometrii warto stosować następujące strategie:
- Identyfikacja typu zadania – określ, czy jest to równanie, nierówność, dowodzenie tożsamości, czy może zadanie geometryczne.
- Sprowadzenie do podstawowych tożsamości – często kluczem do sukcesu jest przekształcenie skomplikowanych wyrażeń do podstawowych tożsamości trygonometrycznych.
- Zastosowanie odpowiednich wzorów – dobierz właściwe wzory (na sumę kątów, kąty podwojone itp.) w zależności od potrzeb zadania.
- Kontrola dziedziny – pamiętaj o ograniczeniach dla funkcji tangens i cotangens oraz o przedziale, w którym szukasz rozwiązań.
- Sprawdzenie rozwiązań – zawsze weryfikuj otrzymane wyniki przez podstawienie do oryginalnego równania lub nierówności.
Podsumowanie
Trygonometria stanowi istotny element egzaminu maturalnego z matematyki. Znajomość podstawowych funkcji trygonometrycznych, ich własności oraz związków między nimi jest kluczowa dla rozwiązywania zadań maturalnych. W tym artykule przedstawiliśmy najważniejsze wzory, tożsamości i strategie, które pomogą Ci skutecznie rozwiązywać zadania z trygonometrii na maturze.
Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest regularne ćwiczenie i rozwiązywanie różnorodnych zadań. Wykorzystaj przedstawione w artykule przykłady jako punkt wyjścia do dalszej nauki i praktyki.