Czym są proporcje w matematyce?
Proporcje to jedno z najważniejszych zagadnień matematycznych, które poznajemy w klasie 8. Są one niezwykle przydatne w życiu codziennym – od przepisów kulinarnych, przez obliczanie podatków, aż po projektowanie budynków. W tym artykule dokładnie wyjaśnimy, czym są proporcje, jak je obliczać oraz jak rozwiązywać związane z nimi problemy.
Definicja proporcji
Proporcja to równość dwóch stosunków. Stosunek to z kolei iloraz dwóch liczb, który pokazuje, ile razy jedna liczba jest większa od drugiej. Proporcję zapisujemy w postaci:
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]
gdzie \(a\), \(b\), \(c\) i \(d\) to liczby, przy czym \(b \neq 0\) i \(d \neq 0\).
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) i \(d\) nazywamy wyrazami proporcji:
- \(a\) i \(d\) to wyrazy skrajne (zewnętrzne)
- \(b\) i \(c\) to wyrazy środkowe (wewnętrzne)
Podstawowa własność proporcji
Najważniejszą własnością proporcji, którą będziemy wykorzystywać przy rozwiązywaniu zadań, jest:
\[a \cdot d = b \cdot c\]
Oznacza to, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. Ta własność pozwala nam na łatwe sprawdzanie, czy dana równość jest proporcją, oraz na obliczanie brakującego wyrazu proporcji.
Jak sprawdzić, czy równość jest proporcją?
Przykład 1: Sprawdźmy, czy równość \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\) jest proporcją.
Krok 1: Identyfikujemy wyrazy proporcji: \(a = 8\), \(b = 12\), \(c = 2\), \(d = 3\).
Krok 2: Sprawdzamy, czy iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych:
\[a \cdot d = 8 \cdot 3 = 24\]
\[b \cdot c = 12 \cdot 2 = 24\]
Ponieważ \(a \cdot d = b \cdot c\), to dana równość jest proporcją.
Obliczanie niewiadomego wyrazu proporcji
Bardzo często w zadaniach musimy obliczyć brakujący wyraz proporcji. Wykorzystujemy do tego podstawową własność proporcji.
Przykład 2: Obliczmy wartość \(x\) w proporcji \(\frac{5}{x} = \frac{15}{9}\).
Krok 1: Wykorzystujemy własność proporcji: \(5 \cdot 9 = x \cdot 15\).
Krok 2: Obliczamy lewą stronę: \(5 \cdot 9 = 45\).
Krok 3: Rozwiązujemy równanie:
\[45 = 15x\]
\[x = \frac{45}{15} = 3\]
Odpowiedź: \(x = 3\)
Metoda „na krzyż” (reguła trzech)
Popularna metoda rozwiązywania proporcji to tzw. metoda „na krzyż”. Jest to praktyczny sposób, który ułatwia obliczenia, szczególnie gdy jeden z wyrazów proporcji jest niewiadomą.
Jeśli mamy proporcję \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), to:
\[a \cdot d = b \cdot c\]
Stąd możemy wyrazić każdy z wyrazów:
\[a = \frac{b \cdot c}{d}\]
\[b = \frac{a \cdot d}{c}\]
\[c = \frac{a \cdot d}{b}\]
\[d = \frac{b \cdot c}{a}\]
Przykład 3: Jeśli 3 kg jabłek kosztuje 15 zł, to ile kosztuje 5 kg tych samych jabłek?
Krok 1: Zapisujemy proporcję:
\[\frac{3 \text{ kg}}{15 \text{ zł}} = \frac{5 \text{ kg}}{x \text{ zł}}\]
Krok 2: Stosujemy metodę „na krzyż”:
\[3 \cdot x = 15 \cdot 5\]
\[3x = 75\]
\[x = 25\]
Odpowiedź: 5 kg jabłek kosztuje 25 zł.
Podział proporcjonalny
Podział proporcjonalny to podział pewnej wielkości na części, które są proporcjonalne do ustalonych wartości.
Przykład 4: Trzech uczniów: Adam, Bartek i Celina podzielili między siebie 120 cukierków w stosunku 2:3:5. Ile cukierków otrzymał każdy z nich?
Krok 1: Obliczamy sumę części: \(2 + 3 + 5 = 10\).
Krok 2: Obliczamy, ile przypada na jedną część:
\[\frac{120}{10} = 12\]
Krok 3: Obliczamy, ile cukierków otrzymał każdy uczeń:
- Adam: \(2 \cdot 12 = 24\) cukierki
- Bartek: \(3 \cdot 12 = 36\) cukierków
- Celina: \(5 \cdot 12 = 60\) cukierków
Sprawdzenie: \(24 + 36 + 60 = 120\) ✓
Wzór na podział proporcjonalny
Jeśli chcemy podzielić liczbę \(S\) na części proporcjonalne do liczb \(a\), \(b\), \(c\), …, to poszczególne części \(A\), \(B\), \(C\), … obliczamy ze wzorów:
\[A = \frac{a}{a + b + c + …} \cdot S\]
\[B = \frac{b}{a + b + c + …} \cdot S\]
\[C = \frac{c}{a + b + c + …} \cdot S\]
itd.
Proporcje a procenty
Proporcje są ściśle związane z procentami. Procent to stosunek danej liczby do 100. Dzięki proporcjom możemy łatwo rozwiązywać zadania procentowe.
Przykład 5: Cena telewizora wzrosła o 20% i wynosi teraz 1800 zł. Jaka była cena początkowa?
Krok 1: Ustalamy, że cena po podwyżce stanowi 120% ceny początkowej.
Krok 2: Zapisujemy proporcję:
\[\frac{120\%}{1800 \text{ zł}} = \frac{100\%}{x \text{ zł}}\]
Krok 3: Rozwiązujemy proporcję:
\[120 \cdot x = 100 \cdot 1800\]
\[120x = 180000\]
\[x = 1500\]
Odpowiedź: Cena początkowa telewizora wynosiła 1500 zł.
Proporcje w geometrii
Proporcje są również bardzo ważne w geometrii, szczególnie przy badaniu podobieństwa figur.
Przykład 6: Dwa trójkąty podobne mają stosunek podobieństwa 2:3. Jeśli obwód mniejszego trójkąta wynosi 12 cm, to jaki jest obwód większego trójkąta?
Krok 1: Zapisujemy proporcję:
\[\frac{2}{3} = \frac{12 \text{ cm}}{x \text{ cm}}\]
Krok 2: Rozwiązujemy proporcję:
\[2 \cdot x = 3 \cdot 12\]
\[2x = 36\]
\[x = 18\]
Odpowiedź: Obwód większego trójkąta wynosi 18 cm.
Kalkulator proporcji
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci w rozwiązywaniu proporcji typu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), gdzie jedna z wartości jest niewiadoma.
Kalkulator proporcji
Wprowadź trzy znane wartości, a czwarta zostanie obliczona:
/
=
/
Kalkulator podziału proporcjonalnego
Poniższy kalkulator pomoże Ci w obliczaniu podziału proporcjonalnego.
Kalkulator podziału proporcjonalnego
Zastosowania proporcji w życiu codziennym
Proporcje mają liczne zastosowania w życiu codziennym:
- Kulinaria – przeliczanie składników przepisu dla większej lub mniejszej liczby osób
- Finanse – obliczanie podatków, odsetek, rabatów
- Budownictwo – przeliczanie wymiarów na planach i makietach
- Fotografia – zachowanie proporcji przy powiększaniu zdjęć
- Medycyna – obliczanie dawek leków w zależności od masy ciała
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1: Sprawdź, czy równość \(\frac{15}{25} = \frac{6}{10}\) jest proporcją.
Zadanie 2: Oblicz wartość \(x\) w proporcji \(\frac{x}{8} = \frac{15}{12}\).
Zadanie 3: W klasie 8a stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców wynosi 3:4. Jeśli w klasie jest 21 dziewcząt, to ilu jest chłopców?
Zadanie 4: Trzech wspólników zainwestowało w firmę odpowiednio 10000 zł, 15000 zł i 25000 zł. Podziel zysk w wysokości 20000 zł proporcjonalnie do wkładów wspólników.
Zadanie 5: Na mapie w skali 1:50000 odległość między dwoma miastami wynosi 8 cm. Jaka jest rzeczywista odległość między tymi miastami w kilometrach?
Rozwiązania zadań
Rozwiązanie zadania 1:
Sprawdzamy, czy \(15 \cdot 10 = 25 \cdot 6\)
\(15 \cdot 10 = 150\)
\(25 \cdot 6 = 150\)
Ponieważ \(150 = 150\), równość jest proporcją.
Rozwiązanie zadania 2:
Stosujemy własność proporcji: \(x \cdot 12 = 8 \cdot 15\)
\(12x = 120\)
\(x = 10\)