# Logarytmy – od podstaw do zadań maturalnych
Logarytmy to jeden z tych działów matematyki, który często sprawia uczniom trudności. Jednocześnie jest to zagadnienie niezwykle istotne, pojawiające się regularnie na egzaminach maturalnych i mające szerokie zastosowanie w naukach ścisłych. W tym artykule przedstawimy różne typy zadań z logarytmów, od podstawowych po bardziej zaawansowane, wraz z dokładnymi rozwiązaniami i wskazówkami.
Podstawy logarytmów
Zanim przejdziemy do rozwiązywania zadań, przypomnijmy najważniejsze definicje i własności logarytmów.
Logarytm liczby \(a\) przy podstawie \(b\) to taka liczba \(c\), że \(b^c = a\). Zapisujemy to jako:
\[ \log_b a = c \quad \Leftrightarrow \quad b^c = a \]
Gdzie:
- \(a\) – liczba logarytmowana (musi być większa od 0)
- \(b\) – podstawa logarytmu (musi być większa od 0 i różna od 1)
- \(c\) – wynik logarytmowania
Najważniejsze własności logarytmów:
\[ \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \]
\[ \log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y \]
\[ \log_b (x^n) = n \cdot \log_b x \]
\[ \log_b b = 1 \]
\[ \log_b 1 = 0 \]
\[ \log_b b^n = n \]
\[ \log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a} \]
Zadanie 1: Obliczanie wartości prostych logarytmów
Oblicz wartości następujących logarytmów:
a) \(\log_2 8\)
b) \(\log_3 81\)
c) \(\log_5 \frac{1}{25}\)
d) \(\log_{0,1} 1000\)
Rozwiązanie:
a) \(\log_2 8\)
Musimy znaleźć taką liczbę \(x\), że \(2^x = 8\).
Wiemy, że \(2^3 = 8\), więc \(\log_2 8 = 3\)
b) \(\log_3 81\)
Szukamy liczby \(x\), dla której \(3^x = 81\).
Zauważamy, że \(3^4 = 81\), więc \(\log_3 81 = 4\)
c) \(\log_5 \frac{1}{25}\)
Szukamy liczby \(x\), dla której \(5^x = \frac{1}{25}\).
Wiemy, że \(5^2 = 25\), więc \(5^{-2} = \frac{1}{25}\).
Zatem \(\log_5 \frac{1}{25} = -2\)
d) \(\log_{0,1} 1000\)
Szukamy liczby \(x\), dla której \(0,1^x = 1000\).
Zauważmy, że \(0,1 = 10^{-1}\), więc \((10^{-1})^x = 1000\).
Przekształcając: \(10^{-x} = 1000 = 10^3\)
Stąd \(-x = 3\), czyli \(x = -3\)
Zatem \(\log_{0,1} 1000 = -3\)
Zadanie 2: Zastosowanie własności logarytmów
Oblicz, nie korzystając z kalkulatora:
a) \(\log_2 4 + \log_2 8 – \log_2 16\)
b) \(\log_3 27 \cdot \log_9 3\)
c) \(\log_4 8 + \log_8 4\)
Rozwiązanie:
a) \(\log_2 4 + \log_2 8 – \log_2 16\)
Wykorzystujemy własności logarytmów:
\(\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2\)
\(\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\)
\(\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4\)
Podstawiając: \(2 + 3 – 4 = 1\)
Alternatywnie, możemy wykorzystać własność \(\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\):
\(\log_2 4 + \log_2 8 – \log_2 16 = \log_2 (4 \cdot 8) – \log_2 16 = \log_2 32 – \log_2 16 = \log_2 \frac{32}{16} = \log_2 2 = 1\)
b) \(\log_3 27 \cdot \log_9 3\)
Obliczamy poszczególne logarytmy:
\(\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3\)
Dla \(\log_9 3\) zastosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu:
\(\log_9 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 9} = \frac{1}{\log_3 9} = \frac{1}{\log_3 3^2} = \frac{1}{2}\)
Zatem: \(\log_3 27 \cdot \log_9 3 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)
c) \(\log_4 8 + \log_8 4\)
Dla \(\log_4 8\) obliczamy:
\(\log_4 8 = \log_4 2^3 = \frac{\log_2 2^3}{\log_2 4} = \frac{3}{\log_2 2^2} = \frac{3}{2}\)
Dla \(\log_8 4\):
\(\log_8 4 = \log_8 2^2 = \frac{\log_2 2^2}{\log_2 8} = \frac{2}{\log_2 2^3} = \frac{2}{3}\)
Zatem: \(\log_4 8 + \log_8 4 = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9+4}{6} = \frac{13}{6}\)
Zadanie 3: Równania logarytmiczne
Rozwiąż następujące równania:
a) \(\log_2(x+3) = 3\)
b) \(\log_3(x+1) + \log_3(x-1) = 1\)
c) \(\log_4(x^2-9) = 2\)
d) \(2^{\log_2 x} = 8\)
Rozwiązanie:
a) \(\log_2(x+3) = 3\)
Korzystamy z definicji logarytmu: \(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\)
\(\log_2(x+3) = 3 \Leftrightarrow 2^3 = x+3 \Leftrightarrow 8 = x+3 \Leftrightarrow x = 5\)
Odpowiedź: \(x = 5\)
b) \(\log_3(x+1) + \log_3(x-1) = 1\)
Korzystamy z własności logarytmów: \(\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)\)
\(\log_3(x+1) + \log_3(x-1) = \log_3((x+1)(x-1)) = 1\)
\(\log_3(x^2-1) = 1\)
Stosując definicję logarytmu:
\(3^1 = x^2-1 \Leftrightarrow 3 = x^2-1 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Sprawdzamy, czy rozwiązania spełniają warunki dziedziny:
Dla \(x = 2\): \(x+1 = 3 > 0\) i \(x-1 = 1 > 0\) – warunki spełnione
Dla \(x = -2\): \(x+1 = -1 < 0\) - warunek nie jest spełniony
Odpowiedź: \(x = 2\)
c) \(\log_4(x^2-9) = 2\)
Stosując definicję logarytmu:
\(\log_4(x^2-9) = 2 \Leftrightarrow 4^2 = x^2-9 \Leftrightarrow 16 = x^2-9 \Leftrightarrow x^2 = 25 \Leftrightarrow x = \pm 5\)
Sprawdzamy dziedzinę: \(x^2-9 > 0\), co jest spełnione dla obu wartości \(x = \pm 5\).
Odpowiedź: \(x = -5\) lub \(x = 5\)
d) \(2^{\log_2 x} = 8\)
Zauważmy, że \(2^{\log_2 x} = x\) (jest to ważna własność logarytmów).
Zatem nasze równanie to: \(x = 8\)
Odpowiedź: \(x = 8\)
Zadanie 4: Nierówności logarytmiczne
Rozwiąż następujące nierówności:
a) \(\log_3(x-1) > 1\)
b) \(\log_2(x+4) < \log_2(2x-1)\)
c) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4) \leq 3\)
Rozwiązanie:
a) \(\log_3(x-1) > 1\)
Stosując definicję logarytmu:
\(\log_3(x-1) > 1 \Leftrightarrow x-1 > 3^1 \Leftrightarrow x-1 > 3 \Leftrightarrow x > 4\)
Dodatkowo musimy uwzględnić dziedzinę logarytmu: \(x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
Łącząc oba warunki: \(x > 4\)
Odpowiedź: \(x \in (4, +\infty)\)
b) \(\log_2(x+4) < \log_2(2x-1)\)
Ponieważ funkcja logarytmiczna jest rosnąca (dla podstawy większej od 1), możemy zapisać:
\(\log_2(x+4) < \log_2(2x-1) \Leftrightarrow x+4 < 2x-1 \Leftrightarrow 5 < x\)
Musimy również uwzględnić dziedzinę obu logarytmów:
\(x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -4\)
\(2x-1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)
Łącząc wszystkie warunki: \(x > 5\)
Odpowiedź: \(x \in (5, +\infty)\)
c) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4) \leq 3\)
Uwaga: podstawa logarytmu \(\frac{1}{2}\) jest mniejsza od 1, więc funkcja logarytmiczna jest malejąca!
Stosując definicję logarytmu:
\(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4) \leq 3 \Leftrightarrow x^2-4 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^3 \Leftrightarrow x^2-4 \geq \frac{1}{8} \Leftrightarrow x^2 \geq \frac{33}{8} \Leftrightarrow x \leq -\sqrt{\frac{33}{8}} \text{ lub } x \geq \sqrt{\frac{33}{8}}\)
Dodatkowo musimy uwzględnić dziedzinę logarytmu: \(x^2-4 > 0 \Leftrightarrow x < -2 \text{ lub } x > 2\)
Łącząc warunki:
\(x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\)
Zadanie 5: Logarytmy w funkcjach wykładniczych
Rozwiąż równania:
a) \(3^{2x-1} = 27\)
b) \(2^{x^2-5x+6} = 4\)
c) \(5^{x+1} \cdot 25^{x-2} = 625\)
Rozwiązanie:
a) \(3^{2x-1} = 27\)
Wiemy, że \(27 = 3^3\), więc:
\(3^{2x-1} = 3^3 \Leftrightarrow 2x-1 = 3 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2\)
Odpowiedź: \(x = 2\)
b) \(2^{x^2-5x+6} = 4\)
Wiemy, że \(4 = 2^2\), więc:
\(2^{x^2-5x+6} = 2^2 \Leftrightarrow x^2-5x+6 = 2\)
\(x^2-5x+4 = 0\)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\(\Delta = 25-16 = 9\)
\(x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = 1\)
Odpowiedź: \(x = 1\) lub \(x = 4\)
c) \(5^{x+1} \cdot 25^{x-2} = 625\)
Przekształcamy: \(25 = 5^2\) i \(625 = 5^4\)
\(5^{x+1} \cdot (5^2)^{x-2} = 5^4\)
\(5^{x+1} \cdot 5^{2(x-2)} = 5^4\)
\(5^{x+1} \cdot 5^{2x-4} = 5^4\)
\(5^{x+1+2x-4} = 5^4\)
\(5^{3x-3} = 5^4\)
\(3x-3 = 4 \Leftrightarrow 3x = 7 \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}\)
Odpowiedź: \(x = \frac{7}{3}\)
Zadanie 6: Zastosowania logarytmów
a) Kapitał w wysokości 5000 zł został zdeponowany na lokacie o stałym oprocentowaniu 4% w skali roku. Po ilu latach kapitał wzrośnie do 8000 zł?
b) Pewna kultura bakterii podwaja się co 3 godziny. Ile czasu potrzeba, aby z początkowej liczby 100 bakterii otrzymać 10000 bakterii?
Rozwiązanie:
a) Kapitał po \(n\) latach przy oprocentowaniu \(4\%\) wynosi: \(K_n = K_0 \cdot (1 + 0,04)^n\)
Podstawiamy dane: \(8000 = 5000 \cdot (1,04)^n\)
\(\frac{8000}{5000} = (1,04)^n \Leftrightarrow 1,6 = (1,04)^n\)
Logarytmujemy obie strony (stosujemy logarytm naturalny, ale można użyć dowolnego):
\(\ln(1,6) = \ln((1,04)^n) \Leftrightarrow \ln(1,6) = n \cdot \ln(1,04)\)
\(n = \frac{\ln(1,6)}{\ln(1,04)} \approx \frac{0,4700}{0,0392} \approx 12,0\)
Odpowiedź: Kapitał wzrośnie do 8000 zł po około 12 latach.
b) Liczba bakterii po \(t\) godzinach wynosi: \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/3}\), gdzie \(N_0\) to początkowa liczba bakterii.
Podstawiamy dane: \(10000 = 100 \cdot 2^{t/3}\)
\(\frac{10000}{100} = 2^{t/3} \Leftrightarrow 100 = 2^{t/3}\)
Logarytmujemy obie strony przy podstawie 2:
\(\log_2(100) = \log_2(2^{t/3}) \Leftrightarrow \log_2(100) = \frac{t}{3}\)
\(t = 3 \cdot \log_2(100) \approx 3 \cdot 6,64 \approx 19,92\)
Odpowiedź: Potrzeba około 20 godzin, aby z 100 bakterii otrzymać 10000 bakterii.
Zadanie 7: Logarytmy o różnych podstawach
Oblicz:
a) \(\log_6 12\)
b) \(\log_{0,5} 8\)
c) \(\log_2 5 \cdot \log_5 2\)
Rozwiązanie:
a) \(\log_6 12\)
Stosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)
\(\log_6 12 = \frac{\log_{10} 12}{\log_{10} 6} \approx \frac{1,0792}{0,7782} \approx 1,3869\)
Możemy też wykorzystać logarytmy naturalne:
\(\log_6 12 = \frac{\ln 12}{\ln 6} \approx \frac{2,4849}{1,7918} \approx 1,3869\)
b) \(\log_{0,5} 8\)
Stosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu:
\(\log_{0,5} 8 = \frac{\ln 8}{\ln 0,5} \approx \frac{2,0794}{-0,6931} \approx -3\)
Możemy też rozwiązać bezpośrednio:
\(\log_{0,5} 8 = x \Leftrightarrow (0,5)^x = 8 \Leftrightarrow (2^{-1})^x = 2^3 \Leftrightarrow 2^{-x} = 2^3 \Leftrightarrow -x = 3 \Leftrightarrow x = -3\)
c) \(\log_2 5 \cdot \log_5 2\)
Zauważmy, że jeśli \(\log_a b = x\), to \(\log_b a = \frac{1}{x}\)
Zatem \(\log_2 5 \cdot \log_5 2 = \log_2 5 \cdot \frac{1}{\log_2 5} = 1\)
Odpowiedź: \(\log_2 5 \cdot \log_5 2 = 1\)